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中国科学技术大学 05#1w#i
2016年秋季博士资格考试试卷 1-uxC^u?|#
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代数学 B]wk+8SMY.
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1.1.(40分) 考虑形式幂级数环 C[[x]]={a0+a1x+a2x2+⋯∣ai∈C}C[[x]]={a0+a1x+a2x2+⋯∣ai∈C} 考虑 22 阶全矩阵环 R=M2(C[[x]])R=M2(C[[x]])． 1=c\Rr9]
(1) 证明 C[[x]]C[[x]] 为 Noether 整环； L#{S!P,"
(2) 描述 C[[x]]C[[x]] 全部的有限生成不可分解模，并给出论证； M)+H{5bt
(3) 给出环 RR 全部的双边理想，并给出论证；
SM#]H-3
(4) 描述 RR 上全部的有限生成不可分解左模，以及这些模的自同态环． gfd"v
*%NT~C
q
2.2.(40分) 将 Abel 群与 ZZ-模等同起来，考虑 Abel 群 G=Z3⊕ZG=Z3⊕Z． 2;`1h[, -^
(1) 列出群 GG 的全部子群，并给出论证； ?
(Oy\
(2) 将 GG 的每个商群都分解成不可分解群的直和，并给出论证； {\"x3;3!6
(3) 列出群 GG 的全部直和项，并给出论证； \ZFGw&yN
(4) 描述 GG 的自同构群． <z&/L/bl"
回顾：Abel 群 GG 的子群 AA 称为直和项，若存在另一子群 BB 满足 G=A+BG=A+B 以及 A∩B={0}A∩B={0}． xC:L)7#aw
L| +~"'l
3.3.(20分) 具体给出代数同构 L#?Ek-
CS3−→～C×C×M2(C)， h bDXo :
CS3→～C×C×M2(C)， {SPq$B_VR
其中 CS3CS3 为 S3S3 的群代数；并给出相应的论证． l`{\"#4
提示：利用不可约复表示． 'RR~7h
