| tzj20048 |
2017-09-14 16:59 |
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中国科学技术大学 'P%& *%
2016年秋季博士资格考试试卷 a 5w E{K
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代数学 C
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1.1.(40分) 考虑形式幂级数环 C[[x]]={a0+a1x+a2x2+⋯∣ai∈C}C[[x]]={a0+a1x+a2x2+⋯∣ai∈C} 考虑 22 阶全矩阵环 R=M2(C[[x]])R=M2(C[[x]])． _m%Ab3iT~
(1) 证明 C[[x]]C[[x]] 为 Noether 整环； )2:U]d%pk
(2) 描述 C[[x]]C[[x]] 全部的有限生成不可分解模，并给出论证； IhK%.B{ dZ
(3) 给出环 RR 全部的双边理想，并给出论证； ~C?)-
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(4) 描述 RR 上全部的有限生成不可分解左模，以及这些模的自同态环． 7!6v4ZA
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2.2.(40分) 将 Abel 群与 ZZ-模等同起来，考虑 Abel 群 G=Z3⊕ZG=Z3⊕Z． zIU6bMMT3u
(1) 列出群 GG 的全部子群，并给出论证； 1IK* j +%
(2) 将 GG 的每个商群都分解成不可分解群的直和，并给出论证； LftGA7uGJ)
(3) 列出群 GG 的全部直和项，并给出论证； ]l
(4) 描述 GG 的自同构群． _0Y?(}
回顾：Abel 群 GG 的子群 AA 称为直和项，若存在另一子群 BB 满足 G=A+BG=A+B 以及 A∩B={0}A∩B={0}． J Pg
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3.3.(20分) 具体给出代数同构 $vn x) #r3
CS3−→～C×C×M2(C)， P|;f>*^Y
CS3→～C×C×M2(C)， 58o&Dv6?
其中 CS3CS3 为 S3S3 的群代数；并给出相应的论证． Xl>ZnI] ;
提示：利用不可约复表示． +.xK`_[M
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