中国科学院数学与系统科学研究院 VfT@;B6ALF
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 tpn.\z%
科目名称：概率论基础（代码：999） YfUo=ku
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考生须知（允许携带计算器）：
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1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 `s\E"QeZN
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 B4 2qiV2/k
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一. 填空题（25分）： bb!cZ >Z
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 T5+
(F z
cdv0:+[P
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . L[. )!c8k
J8@7
5p 9
3. 设随机变量X取值的概率为 HEs .pET\
gezZYP)d
且 n 为正整数。则数学期望 方差 6G;t: [H G
w!/|aZ~*
4. 设随机变量X的密度函数为 L r9z~T:ED
gjP bhY=C[
则X的中位数是 . 43/!pW
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pTE.,~-J^j
科目名称：概率论基础 第1页 共4页 l/6(V:
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 d^ G5Pq
5`f \[oA
二. 选择题（25分）: )B5(V5-!|
7=@Mn F`
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . 3R[,,WAj$
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . y*5$B.u`.
9
p`|~^X
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 d>jRw
(a) zHt}`>y&
(b) 在定义域内单调不减; o,DI7s b
(c) a+p_47 xa
(d) Tsl0$(2W
.> |]Lo(=l
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 N0']t Gh2
f*GdHUZ*
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 4P
$#m<;t
e(;nhU3a*,
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 A]mXV4RmI
(a) ; 7Jvb6V<R
(b) ; bhc
.UmH
(c) ; 4XsKOv
(d) 2= ZZR8v
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科目名称：概率论基础 第2页 共4页 |h75S.UY
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 d&[.=M\E8
tx01*2]pX
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~LuR)T=%es
< &~KYu\r
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p| b&hgA
则协方差 ;+/[<bv d"
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. CH/*MA
/K./k!'z
%7*Y@k-)o
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 VD*xhuy$k
(1) 一个学生回答“是”的概率； iqj
ZC80
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ uBe1{Z
]JXpe ]B
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 @Yy:MdREA
-bHfo%"^TT
Dx-G0 KIG
faVR %
(1) 求常数A; +I+7@Xi Z
(2) 求X和Y的边缘密度函数; G'>z~I]6S
(3) 问X与Y相互独立吗？ p<@ 0b
qOKC2WD
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 f;(]P
, . +r+H`cT@
试求解下列问题： T&2aNku G
A~!3svJW
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； [a kyCb
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ #]yb; L
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 XMM@EN
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 a/.O, &3
RoXU>a:nS
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ <mc[-To
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ ^ftZ{uA
iaR^] |7_
( 其中 表示标准正态分布函数) 7CGKm8T
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七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 #![i
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
