中国科学院数学与系统科学研究院 mM{cH=
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 e)XnS '
科目名称：概率论基础（代码：999） v5{2hCdt
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考生须知（允许携带计算器）： Y%}N@ ,lT
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 _S-@|9\&#
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 Qf 'g2
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一. 填空题（25分）： Z
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 }O| 9Qb
Y zmMF
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . B^d di
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3. 设随机变量X取值的概率为 } .<(L
~mMTfC~9
且 n 为正整数。则数学期望 方差 q[/pE7FL
'P [#.9E
4. 设随机变量X的密度函数为 8N
3y(y0
4G X S(
则X的中位数是 . XGjFb4Tw7
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科目名称：概率论基础 第1页 共4页 o/n4M]G
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 8.+
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Ps[#z@5{x
二. 选择题（25分）: M.:JT31>1
,xAF=t
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . brlbJFZ19
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . >7S@3,C3ke
Zj1bG{G=i
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 %/5Wj_|p
(a) WIpV'F|t]`
(b) 在定义域内单调不减; {IaDZ/XS6
(c) <V Rb
(d) ^N R
f
pe\Nwq
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 Xc}XRKiy{
slUi)@ b
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 /F(n%8)Yq
8&|
o
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 fwV 2b< [
(a) ; "
42/P4:
(b) ; 2zW IB[
(c) ; ) b a~7A
(d) kLZVTVSJt
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科目名称：概率论基础 第2页 共4页 jy?*` q1 ]
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 } $'_%,
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L\:m)g,F.
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E OXkMr
则协方差 0't)-Pj+,
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. ?%hd3zc+f
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三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 DX>LB$dy?
(1) 一个学生回答“是”的概率； {\`tt c>
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ @i>)x*I#AI
3Z9Yzv)A
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 -^CW}IM{ I
V=8db%
^
;QXg*GNAv$
Twa(RjB<
(1) 求常数A; ^7aqe*|vm
(2) 求X和Y的边缘密度函数; q=5aHH% |
(3) 问X与Y相互独立吗？ +a.2\Qt2A
ZL<X* l2
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 e3SnC:OWf
, . L.'61ZU
试求解下列问题： @iuX~QA[9
HAK,z0
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(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； 7wx=#
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ 3oLF^^^g
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 EO)J MV?6
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 R %RbC!P
ik(YJw'i7E
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ hE(R[h c
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？
aO<7a
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( 其中 表示标准正态分布函数) d|RUxNjM-J
3XQa%|N(
七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 8<Iq)A]'Z
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
