中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院  ui:  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 < g<Lf[n$  
科目名称：概率论基础（代码：999） x^|J-
  
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mKS\P  
考生须知（允许携带计算器）： btK| U  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 bV#U&)|  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 XK (y ?Y1  
                                              w`vJE!4B  
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IwIk;pB O  
AFWcTz6#d  
一. 填空题（25分）： n7"e 79  
ai(<"|(  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 Ey77]\  
3:i4DBp,i  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . L)'JkX J  
U
n#7@8,  
3. 设随机变量X取值的概率为 8z^?PZ/  
        !<!sB)  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 : 5G3uN+\  
EdA_Hf  
4. 设随机变量X的密度函数为 ~y}M GUEC  
            URDb  
则X的中位数是 . 22
\Buk}?  
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{jf  
                                                              XnQd(B`M  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 sB_o HUMH6  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 cve(p kl  
0\g;^Zpi  
二. 选择题（25分）: br}.s@~  
>\K<q>*  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . YH^_d3A;  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . #lQbMuR  
l!\C"f1o,  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 p8
BAan3  
(a) !o*BRR*  
(b) 在定义域内单调不减; Tfhg\++u  
(c)   EuqmA7s8A  
(d) YL&$cT]1  

a=k+:=%y  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   bK; -Xcm  
_%!C;`3Y  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 }nYm^Yh  
WUAjb,eo  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 /^qCJp`  
(a) ; pq*b"Jku1  
(b) ; 9x&,`95O  
(c) ; j*Q/
vY!T  
(d) nTY`1w. ;  
                                                              |]DZc/  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 B+ GPTQSTb  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 mT5d[lz  
Q5r cPU>A  
  {LJwW*?  
  '/b,3:  
  8;p6~&).C~  
  !li Q;R&  
  *f.eyg #  
Mc~(S$FU$  
XV)ej>A-V  
  d4[M{LSl  
  W$B>O  
  s}`ydwSg8  
  it5].A&  
r YeFYPS  
g{8>2OK$c  
则协方差 0^]E-Zf  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   /81Ux@,(e  
rgB`<[:b  
xRP#}i:m  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 ov#/v\|0  
(1) 一个学生回答“是”的概率； ~{*FjZ`h  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ pJVzT,poh  
Bg"b,&/^u  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 aIRCz=N
 
4bhm1Q  
      st|$Fu  
my[)/'  
(1) 求常数A; cA`R~o"  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; /+"BU-aQk  
(3) 问X与Y相互独立吗？ ub{<m^|)  
g>_6O[;t%  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 :'f#0ox  
    ,   .   G! zV=p  
试求解下列问题： Zu_m $Mx  
;f^.7|
 
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； 9&g//JlD  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ +Ys<V  
]V<[W,*(5  
                                                              vy,ER<  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 I6M 7xn  
z=N'evx~  
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?<Lz  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 y)"aQJ>  
S3MMyS8  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ zM|d9TS  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ `D>PU@s$nT  
%?<C ?.  
( 其中 表示标准正态分布函数) ?#<Fxme  
ES;7_ .q  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 Lf3Ri/@ p  
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页