中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 9K&:V(gmw  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 ;\l,5EG  
科目名称：概率论基础（代码：999） O<\@~U  
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考生须知（允许携带计算器）： J")#I91  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 CA#,THty  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 &w~
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一. 填空题（25分）： ^BL"wk  
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 /OJ`c`>Q:  
d'I"jZ  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . -S+zmo8  
M:6"H%h,W  
3. 设随机变量X取值的概率为 KK%M~Y+tU'  
        k: ;WtBC6j  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 Ip]KPrwp  
9<)NvU^-r  
4. 设随机变量X的密度函数为 BV+ Bk+  
            8'r[te4,  
则X的中位数是 . CsifKHI  
C{XmVc.  
                                                              T${Q.zHY[!  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 BI}Cg{^km  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 <V6VMYXY4  
B !=F2  
二. 选择题（25分）: Vl!6W@g  
@k/NY*+  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . AZ}Xj>=  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . ohGfp9H
 
k,F6Tx  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 mju>>
\9  
(a) :TC@tM~Oy  
(b) 在定义域内单调不减; _OC<[A  
(c)   kd$D 3S^{  
(d) Oh\<VvZuN  
; p{[1  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则    ?_"ik[w}  
M>8A\;"  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 6;qy#\}2  
l/ ;  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 ">jj  
(a) ; 'W,jMju  
(b) ; ;x1PS  
(c) ; :7?FF'u  
(d) ["e3Ez  
                                                              PO7Lf#9]  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 "djw>|,N<  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 t=O8f5Pf{  
8rS:5:Hi  
  t; {F%9j{  
  =j*$ |X3W  
  e?=^;v%r  
  zXxT%ZcCj  
  r|P
B*`  
zEyN)  
tX %5BTv  
  -f>%+<k=  
  z(^]J`+\  
  vv+z'(l  
  6U,O*WJ%e  
ouFYvtFg  
+sUFv)!4  
则协方差 t*T2Z-!P  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   z]?N+NHOA  
\(Y\|zC'0$  
TS9|a{j3!  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 /M4{Wc  
(1) 一个学生回答“是”的概率； H>B&|BO_[  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ &wCg\j_c  
c>RFdc:U  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 T<p !5`B1  
h+&OQ%e=8  
      j4`0hnqI  
>kp?vK;'B  
(1) 求常数A; Ksj -zR;  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; ( _)jkI \  
(3) 问X与Y相互独立吗？ 1@R Db)<V  
kZZh"#W: L  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 _FVcx7l!
u  
    ,   .   pDIVZC  
试求解下列问题： Oz`BEyb]{  
,\ k(x>oy  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； cy3B({PLy  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ FUjl8b-|  
G) 7;;  
                                                              /bi[e9R
 
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 L=8<B=QT$  
DV-;4AxxRq  
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uq$5u  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 VG5+CU  
lq&wXi  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ & <J[Q%2  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ +W\f(/q0  
#+5pgD2C  
( 其中 表示标准正态分布函数) muZ~*kMc  
!Kj,9NX{U  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 "zRoU$X  
); dT_  
jvFTR'R)=  
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页