中国科学院数学与系统科学研究院 ttfCiP$
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 p{0NKyOvU
科目名称：概率论基础（代码：999） ["N_t:9I
o8c5~fG1
考生须知（允许携带计算器）： q . s'z}
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 dBb
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2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 H63?Erh>a
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K*9~ g('
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一. 填空题（25分）： opfg %*
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 T o $D [-
c@|f'V4
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . &hu3A)%
6(8zt"E
3. 设随机变量X取值的概率为 'BX
U '
r< OqI*7
且 n 为正整数。则数学期望 方差 L2>
)HG
r,Tq";N'
4. 设随机变量X的密度函数为 F~C7 $
Fp~ 0 ^
则X的中位数是 . Ti>2N
r*f:%epB%
%0q
)PT\
科目名称：概率论基础 第1页 共4页 <tgfbY^nL
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 k2:mIp\
siz:YRur
二. 选择题（25分）: ;7U"wI_~c
Fd/Ra]@\Y
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . jhB+ ]
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . v(`5exWV
K`8$+JDP+
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 51'{Jx
8
(a) C )BVsHT4
(b) 在定义域内单调不减; n VoP:FHH
(c) suE#'0K
(d) FF~VV< a
N**" u"CX
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 >K*TgG6!X
"O<TNSbrC
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 d=/a{lP\
;aImz*1%t
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 v-XB\|f
(a) ; (|sqN8SbA
(b) ; ` o6T)49
(c) ;
$!K,5^+
(d) $j&2bO 5M
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科目名称：概率论基础 第2页 共4页 Hr/Q?7g
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 vg\fBHzn
M7c53fz
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H;Gd
Atod& qH
~"22X`;h[G
w"OeS;#e:
M 9/J!s
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Jqqt@5Ni
~}ba2dU8
2qP Q3-'
,e+S7 YX
J4jL%5t
=:Lc-y >
则协方差 3/*<i
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. kRB2J3Nt.
y5N ,~@$r
W)2ZeH*
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 CxJH)H$
(1) 一个学生回答“是”的概率； h;t5v6["
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ @mu=7_$ U
,{g B$8z^
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 pF ' M
)}4xmf@g l
}+BbwBm&
P*{*^D N
(1) 求常数A; l 5l#LsaQb
(2) 求X和Y的边缘密度函数; ~k/GmH
(3) 问X与Y相互独立吗？ 2qDVAq^@
3L-}B#tI
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 .{66q#.
, . rPF2IS(5
试求解下列问题：
LABLT;c
9vJ'9Z2\
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； }XIUz |
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ dnstm@0k
992cy2,Fb
ys Td'J
科目名称：概率论基础 第3页 共4页 *N3X"2X:
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 i2 m+s;
wsyAq' %L
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ 3NxwQ,~
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ Nm, 9xq
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( 其中 表示标准正态分布函数) EHcgWlT u
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七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 7~7_T#dTh
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
