中国科学院数学与系统科学研究院 [^5\Ww
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 1+x"
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科目名称：概率论基础（代码：999） 4qQ,1&!]S
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考生须知（允许携带计算器）： &k }f
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1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 aB]0?C y9(
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 f9D e!"*&
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一. 填空题（25分）： 1\.$=N
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 G-aR%]7$g
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2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . +{J8,^z#
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3. 设随机变量X取值的概率为 iG N\ >m}
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且 n 为正整数。则数学期望 方差 W yL+HB}
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4. 设随机变量X的密度函数为 O7K.\
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则X的中位数是 . a?c &#Jl
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科目名称：概率论基础 第1页 共4页 pSZ2>^";
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 Gr"CHz/
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二. 选择题（25分）: cr7MvXF-
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1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . q'2vE;z Kb
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . _T=g?0
q
$o^Z$VmL
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 k ;WD[SV
(a) G
dgL}"*F
(b) 在定义域内单调不减; b S.w<V
Ew
(c) "
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e
(d) 5of3 &
B@,9Cx564
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 D28`?B9 (
V7ph^^sC}
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 FhE{khc#
'6KvB
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 5{Cz!ut;tE
(a) ; O 4 !$
(b) ; boh?Xt-$
(c) ; 98m|&7
(d) |(7}0]BP0
L9x-90'q,
科目名称：概率论基础 第2页 共4页 N<EVs.7
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 <h
T\xBb:
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则协方差 p|UL<M9{a]
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. lFBdiIw
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三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 ] 5Cr$%H=
(1) 一个学生回答“是”的概率；
J~~\0 u
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ &(F
c .3m
%Ymi
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四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 )XI[hV UA
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C=D*
3o.x<G(
(1) 求常数A; ;?h[WIy
(2) 求X和Y的边缘密度函数; uU
d"l,V
(3) 问X与Y相互独立吗？ Nt>^2Mv
$8^H k xy
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 qqDg2,Yb
, . I}f`iBG
试求解下列问题： -wU] L5uP
.Fb#j+Lq
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； _i_='dsyW/
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ Emlj,c<?
j
x0 j5D
Ejug2q
科目名称：概率论基础 第3页 共4页 *_D/_Rp7
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 %
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(1) 保险公司亏本的概率有多大？ aH }/+Hu-
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ Y?^liI`#
|E+.y&0;
( 其中 表示标准正态分布函数) 1UP
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七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 I Q_6DF
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
