中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 NXeo&+F  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 l[ @\!;|  
科目名称：概率论基础（代码：999） 68I4MZK>4  
6ap,XFRMh  
考生须知（允许携带计算器）： 9-Ib+/R0  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 aE,x>I 7 D  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 CdZ;ZR  
                                              C 2oll-kN  
@Zq,mPaR$  
l q.0?(  
G)<k5U4  
一. 填空题（25分）： B.Xm*adBT  
"X]ufZ7  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 'Y vW|Iq  
.}Z
mqz[  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . A<TJ3Jp]  
G&uj}rj  
3. 设随机变量X取值的概率为 P?0b-Qr$a  
        fi?[ e?|c@  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 MfL q h  
Q'|cOQX  
4. 设随机变量X的密度函数为 Hb]7>[L  
            pt0H*quwI  
则X的中位数是 . rg'? ?rq  
3BSeZ:j7  
                                                              k~vmHb
 
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 JI*ikco-  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 A?7%q^; E  
M"_XaVl  
二. 选择题（25分）: $PTedJ}*Y  
g Sa,A  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . 9 /zz@  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . l y%**iN  
cX=` T l  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 n>eIQaV  
(a) NMj`wQ`M+  
(b) 在定义域内单调不减; _*;cwMne-  
(c)   ,v6Jr3  
(d) .(hb8 rCM  
<r\)hx0ov  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   F9c2JBOM  
JDhA{VN6  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 Bs Ras  
CVUJ(D&Q  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 JZv]tJWq  
(a) ; /9yiMmr5W  
(b) ; RXof$2CZS  
(c) ; iwVra"y  
(d) Xo*$|9[.  
                                                              -'0AV,{Z  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 FlgB-qR]<n  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 jQr~@15J#  
PRLV1o1#  
  "''<:K|  
  V*m)h  
  #wd \&  
  ' |/_='  
  ChW0vIL`  
b(yO  
&59#$LyH`%  
  a"DV`jn  
  O1ha'@qID  
  &KvevPF  
  "^=[*i  
0;H6b=  
'=~y'nPG7  
则协方差 55cldo   
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   7, 13g)  
/2cI {]B  
+7Lco"\w<  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 u/[]g+  
(1) 一个学生回答“是”的概率； |Hm'.-   
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ ^0|NmMJ]  
sB
b.Y k  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 5y3TlR  
XeSbA  
      ye|a#a9N  
tvOAN|+F  
(1) 求常数A; e] K=Nm  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; |3s&Y`x-D  
(3) 问X与Y相互独立吗？ 1D[P\r-  
?66(t  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 ww($0A`ek  
    ,   .   ^B5cNEO  
试求解下列问题： <gdgcvd  
n6-Ic',;  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； 2]3HX3  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ m_$I?F0  
tt]V$V  
                                                              bez'[Y{  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 )c*k_/4  
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p$nK@t}  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 F>
QT|
 
2ly,l[p8  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ `MsYgd  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ 0O#B
'Uu  
Ejms)JK+  
( 其中 表示标准正态分布函数) Y v
>BOK  
+&7Kk9^  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页