中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院  ,7K`[  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 }Y36C.@H  
科目名称：概率论基础（代码：999） Wbq
WG^W  
 $[=%R`~w  
考生须知（允许携带计算器）： Aj+F |l  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 >[=^_8M  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 < F+l  
                                              j^rIH#V   
$43qME  
63
,H{  
**G9H  
一. 填空题（25分）： AoL2@C.C%D  
%UCr;H/  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 bYQRB i  
7,9=uk>0\  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . m<"WDU?y;  
Y,t={HiclX  
3. 设随机变量X取值的概率为 P:]^rke~&  
        Ob&<]  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 UVIKQpA]A  
gz#i.-  
4. 设随机变量X的密度函数为 R>mmoG}MQ[  
            g:Xhw$x9  
则X的中位数是 . <.izVD4/Gg  
p/@smke  
                                                              s 3f-7f<  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 =\:qo'l  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 q0r>2c-d  

q6`b26  
二. 选择题（25分）: $#pPZ  
v"XGCi91L  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . @{tz:f  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . dD|OSB7I7  
P?B;_W+~A.  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 ll.N^y;a  
(a) E
Z$>.iy{  
(b) 在定义域内单调不减; 22 M1j5  
(c)   "8^ Ch{G-  
(d) OJ5#4qJ[  
4UvZ)^r  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   Xi,CV[L\  
\T:i{.i  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 |G,tlchprs  
wFsyD3  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 J1I ;Jgql(  
(a) ; ^
N;.cY  
(b) ; :f}9
($  
(c) ; +|'c>,?2H  
(d) W~~7C,!  
                                                              P.;aMRMR  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 -vR5BMy=  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 1 &)?JZhg  
uU <=d  
  M&@b><B  
  v99B7VH4  
  bRJMYs  
  ;8*`{F[  
  )- viGxJ@  
Lz!,kwg  
D@
|W<i-  
  hMUs" <.  
  dC$Em@Nb  
  T:Hr&ws4  
  OK6]e3UO  
lBhLf@  
:x{NBvUIc  
则协方差 ( Qcp{
q  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   qT"Q1xU[  
\"^w'ng  
f3{MvAy[  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 9@52Fg;mj  
(1) 一个学生回答“是”的概率； W$rH"_@m  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ /.i.TQ]  
5ish\"  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 ;F#7Px(q  
 D <&X_  
      2eC(Ijq[a  
T G{k0cdOT  
(1) 求常数A; Yd=a}T  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; DrBUe'RH:M  
(3) 问X与Y相互独立吗？ ?a8(azn  
r8&^>4  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记
On@<J&%  
    ,   .   !]fQ+*X0g  
试求解下列问题： *gF<m9&  
Q~Hh
\Lt  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； )+"'oY$]}  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ iNWo"=J  
,4,V4 N  
                                                              Fxqp-}:  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 qc!MG_{Y  
g'u?Rn7*J  
-

,aeM~  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 !>`N$-U X  
ZP$-uaa-  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ ~-t>z  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ A@D2
+fS  
{ "xln/   
( 其中 表示标准正态分布函数) ,7)C"  
Gqcz<=/  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 fr}Eaa-{^  
k@D0 {z  
(?kl$~&|  
G633Lm`ri  
R@yyur~'_(  
 1w0OKaF5  
-MugnB6  
<{:  
ow;R$5G  
A[dvEb;r  
#4h+j%y[H  
)|<_cwz  
lhYn5d)DV  
MfBdNdox7  
'[(nmx'yVJ  
Xvok1NM,  
sNHSr  
x/
MZ(A%D  
*Sf-;U  
YEx)"t8E  
wVA|!>v  
PaCzr5!~f  
"?
GebA  
Zz |MIGHm  
&?p
:3%;Dr  
@TA9V@?)  
w*w?S  
I#FF*@oeM  
/WnE:3G  
pY^9l3y^  
                                                              <B&R6<]T   
科目名称：概率论基础                               第4页 共4页