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主题 : 中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础
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楼主  发表于: 2007-04-02   

中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 4p\<b8(9>  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 7Ps I'1v  
科目名称:概率论基础(代码:999) B"ZW.jMaI  
i<@6f'Kir  
考生须知(允许携带计算器): K[!OfP  
1.本试卷满分为150分,全部考试时间总计180分钟。 Ne!F  p  
2.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上或草稿纸上一律无效。 G1=GzAd$5  
                                              @KfFt R-;  
r BQFC 4L  
*$~H=4t  
e[.c^Hw  
一. 填空题(25分): Ab ,n^  
9JYrP6I!_  
1. 设袋中有N个相同的球,编号为1, …, N。现从中不放回地随机(即每次在袋里剩余球中等概率地抽取)抽取n个,则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取,则第i号球被抽中的概率为 。 [%7y !XD  
ACm9H9:Vd  
2. 设随机变量 相互独立,且分布函数均为 ,则   的分布函数为 . Ir'(GB  
>{?~cNO&  
3. 设随机变量X取值的概率为 ,#:*dl  
        `@1y|j:m  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 D!< [\ G  
Z M_ 6A1  
4. 设随机变量X的密度函数为 qKNX^n;  
            exT O#*o  
则X的中位数是 . D1]%2:  
|W4 \  
                                                              QFt7 L  
科目名称:概率论基础                               第1页 共4页 mC OJ1}  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 , 标准差是 , 则   的概率至少为 ['~j1!/;6  
l`=).k   
二. 选择题(25分): 9DcUx-   
hd{Vz{;W  
1. 设两个事件A与B相互独立,且只有A发生的概率为 ,只有B发生的概率为 ,则 . wgfy; #  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . x}Qet4vV  
=Lx*TbsFYt  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 hpp>+=  
(a) Q-;ltJ  
(b) 在定义域内单调不减; *I,3,zO  
(c)   E/ %S0  
(d) P5M+usx  
kw)@[1U  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   kB_uU !G  
jCdKau&9  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 clfi)-^ {K  
$__e7  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数), 则对任意的常数 c,必有 成立。 Q|eRek  
(a) ; E-h`l DoJ  
(b) ; QYDTb=h~  
(c) ; 86d *  
(d) OdX-.FFl  
                                                              5MY+O\  
科目名称:概率论基础                               第2页 共4页 ^$3 ~;/|  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 9HMW!DSK`  
: sIZ+3  
  "aNl2T  
  {m5tgVi&  
  N{n}]Js1D-  
  i[FcY2  
  Bm%.f!`  
y@g{:/cmO  
q|m8G  
  Gjuc"JR7  
  rC]jz$sle  
  ,-u | l  
  I%xrDiK97  
QC>I<j& `!  
~h-G  
则协方差 6 .DJR Y  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   j}8IT  
{(G@YG?  
K/oPfD]  
三.(20分)为了了解高校考试作弊的情况,今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题,特采用如下方案:准备两个问题,一个是“考试是否作过弊”,另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者,掷一个均匀骰子,如出现 1,2,3,4,则回答第一个问题;如出现 5,6,则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ,男生所占比例是 ,且设回答都是真实的。试求 Vja' :i  
(1) 一个学生回答“是”的概率; Z91gAy^z<  
(2) 如果一个学生回答“是”,则其回答的是第一个问题的可能性有多大? sw*k(i  
aA%$<ItH  
四.(25分)设二维随机变量 (X, Y)的联合密度函数为 <Xw 6m$fr:  
!$h%$se  
      "Ks%!  
eG # (9  
(1) 求常数A; 93fKv  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; DMcvu*A  
(3) 问X与Y相互独立吗? QHr 3J  
G%ycAm  
五.(20分)假设随机变量 相互独立,均服从正态分布 . 又记 3f's>+,#%  
    ,   .   a [s%2>e  
试求解下列问题: n i@D7:h  
pvy;L[c  
(1) 求常数 c,使得 cY 服从 分布; I>/`W  
(2) 问 Z 服从什么分布,为什么? ~2@U85"o  
/Re1QS  
                                                              !QVd 'e  
科目名称:概率论基础                               第3页 共4页 i BJ*6orz  
f;u;hQxs  
B>X+eK  
六. (20分)在一家保险公司里有10000人参加保险,每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006,且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另,公司一年总的开支为100万元。问 NL&g/4A[a  
b{s E#m%r  
(1) 保险公司亏本的概率有多大? AG}' W  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少? [$[t.m  
q(.%f3(  
( 其中 表示标准正态分布函数) 2SG|]=  
e@]cI/j  
七. (15分)设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ,试证 oK5(,8 (4  
'Iyk`=R  
Qg 6m  
0 SKt8pL`  
w5n>hz_5  
Z/-%Eb]L1  
1}ZBj%z4l  
m(OBk;S~   
(OG@]|-  
3&' STPpW  
+#B%YK|LR  
}|SVt`n  
|um)vlN;9  
7gQt k  
aO<d`DTyJ  
V;:A&  
0e7v ?UT  
N@d 4)  
HPCA ,*YR`  
A1'IK.  
J| DWT+$#Z  
R6:N`S]&d[  
aPb!-o{  
6)bfd^JYn  
)7`~U"r  
S7SPc   
4@W.{|2~  
[X=eCHB?  
0y ;gi3W  
?<}qx`+%Q  
                                                              d z\b]H]  
科目名称:概率论基础                               第4页 共4页
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