中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 nbkky.e  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 R;,u >P "  
科目名称：概率论基础（代码：999） ?
RjKP3P  
MdTd$ 4J3  
考生须知（允许携带计算器）： PTV`=vtj  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 gV.Pg[[1  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 ~4 xBa:*z  
                                              :Tl6:=B  
@BQBNGR1  
y7L4jO9h  
t;~`Lm@hY  
一. 填空题（25分）： Vgb>3]SU  
a_fW{;}[  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 ?Dp^dR  
!iz vY  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . ke6cZV5w  
(9q{J(44  
3. 设随机变量X取值的概率为 *gpD4c7A\  
        MldL"*HW:  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 0*M}QXt  
EYD{8Fw-  
4. 设随机变量X的密度函数为 Z1lF[d,f;  
            V4 i%|vV  
则X的中位数是 . Ewsg&CCN  
rxk{Li<9  
                                                              eu|q {p  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 r{jD,x2  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 /{)cI^ 9  
LsZ!':LN  
二. 选择题（25分）: X35U!1Y\  
9F1stT0G%  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . ]<z(Rmn`Q  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . Yf`.Cq_:  
c^gI K1f-  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 O9&:(2'f  
(a) wz)9/bL  
(b) 在定义域内单调不减; 
:Rx"WY  
(c)   ]lYEJ`  
(d) !T(Omve)  
V *y  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   wo9f99  
{ S(T1ua  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 rM.<Gi05Qe  
5FKd{V'  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 s4k%ty}  
(a) ; gi >{`.]  
(b) ; =upP3rw  
(c) ; rcT<OiYuig  
(d) @1Lc`;Wd  
                                                              ]zY'w,?D\F  
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5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 ~C x2Q4E  
.CpO+z  
  ZW%`G@d"H-  
  5Oq;V:7  
  KIJ[ cIw  
  &X(-C9'j  
  4*W7{MPY  
[L^ #<@S  
:[3\jLrc  
  gs>cx]>  
  =p6xc}N  
  mNKa~E  
  Km-B=6*QY  
?2;G_P+  
rkl7p?  
则协方差 }JsdgO&z  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   Xv:IbM> Qc  
p3'+"sFU  
u'p J9>sC  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 ewg WzB9c  
(1) 一个学生回答“是”的概率； ehq6.+l  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ M<M r (z  
u@B"*V~K  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为
lTXU  
.$iIr:Tc>  
      U<b!$"P9  
U9w*x/Swb  
(1) 求常数A; ?x97q3I+]  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; ?H&p zY~H  
(3) 问X与Y相互独立吗？ b} :Z(L,\  
C0RwW??t  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 $u :=lA:N  
    ,   .   X#yl8k_  
试求解下列问题： \<} nn?~n  
v6:DA#0  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； $$@Tgkg?o  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ |};~YMH  
Gm.hBNgp  
                                                              7}Sw(g)o7  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 |1D`
v9  
P*SXfb"HC  
J:5n/m^A  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 P(`IY+  
ezn>3?S  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ 9\8 ""-  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ /y0 )r.R  

Ssj'1[%  
( 其中 表示标准正态分布函数) ZZTV >:  
wb}tN7~Y;  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 z+b~#f3  
>HFJm&lQ  
o$-Phl  
C$bK!]a  
JI^w1I, T  
Q-"FmD-Yw  
-4Xr5j%o  
*=v RX!sI,  
7-5q\[ZK  
h+Dok#g  
)"1D-Bc\Q  
|0&S>%=  
gor6c3i  
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alG}Aw#gS  
GB+G1w  
Ev()2 80  
@ +7'0[y?  
\z_@.Jw{  
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F/!C=nS  
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C}!$'C|  
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                                                              @}FRiPo6  
科目名称：概率论基础                               第4页 共4页