中国科学院数学与系统科学研究院 4p\<b8(9>
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 7Ps I'1v
科目名称：概率论基础（代码：999） B"ZW.jM aI
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考生须知（允许携带计算器）：
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1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 Ne!F
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2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 G1=GzAd$5
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一. 填空题（25分）： Ab ,n^
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 [ %7y !XD
ACm9H9:Vd
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 .
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>{?~cNO&
3. 设随机变量X取值的概率为 ,#:* dl
`@1y|j:m
且 n 为正整数。则数学期望 方差 D!< [ \ G
Z
M_
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4. 设随机变量X的密度函数为 qK NX^n ;
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O #*o
则X的中位数是 . D 1]%2:
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QFt7
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科目名称：概率论基础 第1页 共4页 mC OJ1 }
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 ['~j1!/;6
l`=).k
二. 选择题（25分）: 9DcUx-
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1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . wgfy; #
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . x}Qet4vV
=Lx*TbsFYt
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 hpp>+=
(a) Q -;ltJ
(b) 在定义域内单调不减; *I,3,zO
(c) E/ %S0
(d) P5M+usx
kw)@[1U
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 kB_u U !G
jCdKau&9
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 clfi)-^ {K
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4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 Q|eRek
(a) ; E-h`l
DoJ
(b) ; QYDTb=h~
(c) ; 86d *
(d) Od X-.FFl
5M Y+O\
科目名称：概率论基础 第2页 共4页 ^$3 ~;/|
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 9HMW!DSK`
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~h -G
则协方差 6 .DJR Y
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. j}8IT
{(G@YG?
K/oPfD]
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 Vja' :i
(1) 一个学生回答“是”的概率； Z91gAy^z<
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ s w*k(i
aA%$<ItH
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 <Xw 6m$fr:
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"Ks% !
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(1) 求常数A; 93fKv
(2) 求X和Y的边缘密度函数; DMcvu*A
(3) 问X与Y相互独立吗？ QHr
3J
G% ycA m
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 3f 's>+,#%
, . a
[s%2>e
试求解下列问题： n i@D7:h
pvy ;L[c
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； I>/`W
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ ~2@U85"o
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 i BJ*6orz
f;u;hQxs
B>X+eK
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 NL&g/4A[a
b{s E#m%r
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ A G} '
W
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ [$[t.m
q(.%f3(
( 其中 表示标准正态分布函数) 2SG|] =
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七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 oK5(,8
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
