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主题 : 中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础
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楼主  发表于: 2007-04-02   

中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 43-%")bH  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 l#o43xr  
科目名称:概率论基础(代码:999) k&DH QvfB  
vd /_`l.D  
考生须知(允许携带计算器): z>i  D  
1.本试卷满分为150分,全部考试时间总计180分钟。 &u"*vG (U[  
2.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上或草稿纸上一律无效。 p^YE"2 -  
                                              ^;s`[f|w  
P+3G*M=}  
:Rt5=0x   
9zO3KT2  
一. 填空题(25分): e|Sg?ocR  
yK?~X V:  
1. 设袋中有N个相同的球,编号为1, …, N。现从中不放回地随机(即每次在袋里剩余球中等概率地抽取)抽取n个,则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取,则第i号球被抽中的概率为 。 \-s) D#Y;r  
p!aeL}g`  
2. 设随机变量 相互独立,且分布函数均为 ,则   的分布函数为 . : 1fik  
Lf0Hz")  
3. 设随机变量X取值的概率为 G<jpJ  
        `8dE8:# Y  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 z{#F9'\&  
&vMH AZd  
4. 设随机变量X的密度函数为 ~2H7_+.#  
            : l>Ue&  
则X的中位数是 . )E7A,ZW,  
3K?0PRg  
                                                              k9Sqp :l,  
科目名称:概率论基础                               第1页 共4页 <go~WpA|r  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 , 标准差是 , 则   的概率至少为 HJJ ^pk&  
YQ]H3GA  
二. 选择题(25分): 3-mw-;.  
9wq%Fnt  
1. 设两个事件A与B相互独立,且只有A发生的概率为 ,只有B发生的概率为 ,则 . Vw{Ys6q  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . 7@lXN8_f  
*(vq-IE\$  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 k( g$_ ]X  
(a) ]JD$fS=_  
(b) 在定义域内单调不减; dJLJh*=AG  
(c)   /B!m|)h5~  
(d) oba*w;  
zJnVO$A'  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   -1_Z*?=-  
(t]>=p%4g  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 !n{c#HfG  
?:FotnU*p  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数), 则对任意的常数 c,必有 成立。 4jz]c"p-  
(a) ; S!q}Pn  
(b) ; 2:N_c\Vi  
(c) ; P\ s+2/  
(d) - X_w&  
                                                              hX_p5a1t  
科目名称:概率论基础                               第2页 共4页 yo.SPd="Vx  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 -7O/ed+  
-{*V) J_Co  
  e 1loI8  
  4:@|q:DR  
  =Yj[MVn  
  k@aP&Z~  
  J3x7i8  
8-5 jr_*  
'r n;|K  
  &iOtw0E  
  9(F?|bfk  
  IJc#)J.2A  
  \.1b\\  
N`Xnoehu  
,:(leWeA9  
则协方差  DiQkT R  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   I A`8ie+  
'B5J.Xe:  
&E &iaw!  
三.(20分)为了了解高校考试作弊的情况,今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题,特采用如下方案:准备两个问题,一个是“考试是否作过弊”,另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者,掷一个均匀骰子,如出现 1,2,3,4,则回答第一个问题;如出现 5,6,则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ,男生所占比例是 ,且设回答都是真实的。试求 WJU NJN  
(1) 一个学生回答“是”的概率; i>Bi&azx  
(2) 如果一个学生回答“是”,则其回答的是第一个问题的可能性有多大? 7 3z Y^ x  
A4Q)YY9~  
四.(25分)设二维随机变量 (X, Y)的联合密度函数为 :ZfUjqRE  
@ KPv&UB  
      E9d i  
LEngZ~sV/  
(1) 求常数A; To8v#.i  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; uP=_-ZUW  
(3) 问X与Y相互独立吗? .(dmuV9  
A Wh* <H  
五.(20分)假设随机变量 相互独立,均服从正态分布 . 又记 ROt0<^<  
    ,   .   7k t7^V<  
试求解下列问题: `?o1cf A  
jbhJ;c:  
(1) 求常数 c,使得 cY 服从 分布; "">fn(  
(2) 问 Z 服从什么分布,为什么? 9Oo*8wvGG  
,6orB}w?z  
                                                              ~2A$R'xb  
科目名称:概率论基础                               第3页 共4页 LJNie*  
VVQ74b  
1|EU5<  
六. (20分)在一家保险公司里有10000人参加保险,每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006,且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另,公司一年总的开支为100万元。问 jdg ~!<C  
R3{*v =ov  
(1) 保险公司亏本的概率有多大? KB,~u*~!  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少? M*~v'L_sI  
&v auLp  
( 其中 表示标准正态分布函数) ngkeJ)M0$  
\;B$hT7z*  
七. (15分)设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ,试证 (:y,CsR}4  
L=$?q/=-  
]w_   
){:q;E]^fB  
%Vw|5yA4  
[V2omSZo  
;* wT,2;  
/jZaU`  
3XApY'  
R8=I)I-8  
7Ykj#"BZ  
t?]\M&i&  
+7i7`'9pd  
JVUZ}#O  
`N|U"s;  
VjA wn}eO  
K9e~Wl<3  
4T-,'P{?  
;NiArcAS!  
d]O_E4X*  
05l0B5'p  
] ?DDCew  
rxs~y{ Xi  
%sOWg.0_  
z +3<$Z  
o }9M`[  
!Y ;H(.A/  
W]@gQ (Ef  
-M7K8  
L# `l Q"`K  
                                                              |?OdV<5C  
科目名称:概率论基础                               第4页 共4页
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