中国科学院数学与系统科学研究院 LZpqv~av
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 _nW#Cl~
科目名称：概率论基础（代码：999） 1`&"U[{
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考生须知（允许携带计算器）： 9<!Ie^o?
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 n ^C"v6X
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 _$qH\>se
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一. 填空题（25分）：
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4 T:@W C
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 _"c?[n
#ANbhHG
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . \ssqIRk
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3. 设随机变量X取值的概率为 T|Fl$is
*U^7MU0
且 n 为正整数。则数学期望 方差 !@kwHJkv
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4. 设随机变量X的密度函数为 A^"( VaK
EAXbbcV
则X的中位数是 . 4XX uj
BO)Q$*G~JD
z#elwL6
科目名称：概率论基础 第1页 共4页 &yw U^hBh
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 j UCrj
'
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二. 选择题（25分）: K _sHZ
/KH,11 )yc
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . U0X? ~ 1
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . {:0TiOP5x
"nEfk{ g
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 VwrHD$
(a) zBTyRL
l
(b) 在定义域内单调不减; &;]KntxB
(c) vhOX1 '
(d) j
!<(`
=7212('F
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 I c 2R\}q
;Wu6f"+Y#
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 yO`HL'SMo
NP^j5|A*"
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 :sL
?jGk\
(a) ; dF<GuS;l5
(b) ; +1o4l i
(c) ; T z?0E"yx
(d) 'Wz`P#/
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科目名称：概率论基础 第2页 共4页 $]t3pAI[H0
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 O4.`N?Xq
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J[ 7Sf^r
则协方差 F+ Q(^Nk
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. *m tS\J
=Hf`yH\#
Pof]9qE-y
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 z=1N}l~|*
(1) 一个学生回答“是”的概率； :F`-<x/
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？
;U<}2M!g
eB2a1<S&@
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 |$+
xVi8
~U$ioQy<
:&`,T.N.vK
ag{cm' .
(1) 求常数A; Q.i_?a
(2) 求X和Y的边缘密度函数; HyGu3
(3) 问X与Y相互独立吗？ ,%<ICusZ
L <W2a(
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 ywY[g{4+
, . /ht-]Js$G
试求解下列问题： <:ptNGR
Cc&SHG*R
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； 6BH
P#B2 j
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ %Fp 1c K
ul^VGW>i
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 [oD u3Qn
J u"K"
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 ; Q\MH t*
=g{Hs1W
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ d*R('0z{
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ L['g')g.
-=4{X
R3
( 其中 表示标准正态分布函数) `EWQ> m +
Pq3m(+gf
七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 GZzBATx
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
