中国科学院数学与系统科学研究院 43-%")bH
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 l#o43xr
科目名称：概率论基础（代码：999） k&DH QvfB
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考生须知（允许携带计算器）： z>i
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1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 &u"*vG (U[
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 p^YE"2 -
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一. 填空题（25分）： e|Sg?ocR
yK?~X V:
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 \-s) D#Y;r
p!ae L}g`
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . :
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L f 0Hz")
3. 设随机变量X取值的概率为 G< jpJ
`8dE8:# Y
且 n 为正整数。则数学期望 方差 z{#F9'\ &
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4. 设随机变量X的密度函数为 ~2H7_+.#
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则X的中位数是 . )E7A,ZW,
3K?0PRg
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科目名称：概率论基础 第1页 共4页 <go~WpA|r
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 HJJ ^pk&
YQ]H3GA
二. 选择题（25分）: 3-mw-;.
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1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . V w{Ys6q
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . 7@lXN8_f
*(vq-IE\$
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 k(
g$_ ]X
(a) ]JD$fS=_
(b) 在定义域内单调不减; dJLJh*=AG
(c) /B!m|)h5~
(d) ob a*w;
z JnVO$A'
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 -1_Z*?=-
(t]>=p%4g
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 !n{c# HfG
?:FotnU*p
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 4jz] c"p-
(a) ; S!q}Pn
(b) ; 2:N_c\Vi
(c) ; P\ s+2/
(d) - X_ w&
hX_p5a1t
科目名称：概率论基础 第2页 共4页 yo.SPd="Vx
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 -7 O/ed+
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k@aP&Z~
J 3 x7i8
8 -5 jr_*
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IJc#)J.2A
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N`Xnoehu
,:( leWeA9
则协方差 DiQkT R
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. I A`8ie+
'B5J.Xe:
&E &iaw!
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 WJU NJN
(1) 一个学生回答“是”的概率； i>Bi&azx
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ 7 3z
Y^ x
A4Q)YY9~
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 :ZfUjqRE
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KPv&UB
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LEngZ~s V/
(1) 求常数A; To8v#.i
(2) 求X和Y的边缘密度函数; uP =_-ZUW
(3) 问X与Y相互独立吗？ .(dmuV9
A Wh* <H
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 ROt0<^<
, . 7k t7^V<
试求解下列问题： `? o1cf A
jbhJ;c :
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； "">f n(
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ 9Oo* 8wvGG
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 LJNie*
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 jd g
~!<C
R3{*v =ov
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ KB,~u*~!
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ M*~v'L_sI
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( 其中 表示标准正态分布函数) ngkeJ)M0$
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七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 (:y,CsR}4
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
