中国科学院数学与系统科学研究院 -ucgET`
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 FpU8$o~r{
科目名称：概率论基础（代码：999）
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考生须知（允许携带计算器）： ;^0 rY )&
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 tq3Rc}
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 h.F=Fhx/1
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一. 填空题（25分）： ,Kl?-W@
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 FVBA B>
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O%zQ@
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . Xa.8-a
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Ez0zk 9
3. 设随机变量X取值的概率为 _p+E(i 9
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且 n 为正整数。则数学期望 方差 G $MEVfd"
-~ l q <M
4. 设随机变量X的密度函数为 AH5;6Q
'!8-/nlv1
则X的中位数是 . I 4?oBq
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科目名称：概率论基础 第1页 共4页 L*[3rqER
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 OM&GypP6&
] 2qKc
二. 选择题（25分）: yG/!K uA
4,c6VCw3+
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . Wu/#} Bw#
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . !=,
Y
=5M,
v#/Gxk9eX
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 n *=#jL
(a) M\5|
(b) 在定义域内单调不减; ~r5S{&
(c) s) shq3O
(d) #Ir?v
m\0_1 #(
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 > ]^ 'h
, i5 _4
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 KRC"3Qt
c
Pf_B=
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 A,c XN1V
(a) ; 0>N6.itOz
(b) ; }r5y AE
(c) ; K dd CR&
(d) nOL"6%q
BA]$Fi.Mw
科目名称：概率论基础 第2页 共4页 bT^dtEr[
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 L!If~6oD(
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则协方差 N o'?8 +i
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. {_O !mI*
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三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 Fz%;_%j
(1) 一个学生回答“是”的概率； lT^su'+bk
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ vju
FVJwL
x;n3 Zr;(
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 /o;M
?Nt6
bO=|utpk
&0F' Ca
m+ TAaK
(1) 求常数A; E#B-JLMGl
(2) 求X和Y的边缘密度函数; Iux3f+
H
(3) 问X与Y相互独立吗？ *; o%*:
H@Z_P p?
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 ZSC*{dD$ E
, .
pH1 !6X
试求解下列问题： 2r,
c{Ah@D
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(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； e8F]m`{_"
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ CL=%eSsuD
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 )6OD@< r{
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 !+GYu;_
p['RV
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ .H" ?& Mf
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ ".?4 `@7F\
Eb8pM>'qM
( 其中 表示标准正态分布函数) Hn|W3U
Pe`(9&iT.
七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 fkA+:
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
