中国科学院数学与系统科学研究院 8Ji`wnkXe
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 =tbfBK+
科目名称：概率论基础（代码：999） h
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考生须知（允许携带计算器）： Gh/nNwyu
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1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 bf@g*~h@
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 'YB[4Q /0
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一. 填空题（25分）： U#c G
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 }ymW};W
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2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . z]r'8J c
u 3#+fn_
3. 设随机变量X取值的概率为 _qR?5;v
Y ~g\peG7
且 n 为正整数。则数学期望 方差 z?<B@\~
sWo}Xq#
4. 设随机变量X的密度函数为 XrM+DQ;
! p/SX>NJ
则X的中位数是 . CO smVQ.
~9 .=t '
SFRP
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科目名称：概率论基础 第1页 共4页 1R3,Z8j'
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 tu<<pR>
a51e~mg Z`
二. 选择题（25分）: L4Zt4Yuw
S?d< P
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . }ofb]_C,
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . zI4rAsysL
b'\Q/;oz>
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 !nSa4U,$w<
(a) /Ne#{*z)hO
(b) 在定义域内单调不减; h40;Q<D
(c) Q__CW5&'u
(d) ( O{OQk;CF
a*y9@RC}
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 >t3_]n1e
(p{%]M
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 |- x-CSN
G<e+sDQ2
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 ).^d3Kp
(a) ; 2.aCo, Kb;
(b) ; U0_)J1Yp
(c) ; bI &<L O
(d) KkZx6A)$u
!b+4[ xky
科目名称：概率论基础 第2页 共4页 h p|v?3(
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 D6Ad
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+a!3*G@N+
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I_<VGU k
则协方差 Mh7m2\fLbd
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. H.ZIRt !RB
EH |+S
3s% ?)z
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 BD
C DQ
(1) 一个学生回答“是”的概率； 3IMvtg
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ 6HY): M&?
Rml'{S
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 8zx]/ >
RM|J |R
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3kHO{
)=~&l={T
(1) 求常数A; 7S{qo&j'
(2) 求X和Y的边缘密度函数; |owr?tC
(3) 问X与Y相互独立吗？ cZh0\Dy U
/L^g. ~
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 _<S!tW
, . E`fG9:6l]
试求解下列问题： K3!3[dR*
juHL$SGC
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； 40kAGs>_
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ kOQ
)QX
64/Zf XD
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 9lYKG ^#D
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 (kxS0 ]=
.RxT z9(
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ JqzoF}WH
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ c-$r B_t+
y[ dB mTY
( 其中 表示标准正态分布函数) agUdI_'~@9
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七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 1-gM)x{Jr
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
