中国科学院数学与系统科学研究院 d UE,U=
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 ^] Y> [[
科目名称：概率论基础（代码：999） 6?gW-1mY
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考生须知（允许携带计算器）： caR<Kb:;*
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 IxN9&xa
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 h]&GLb&<?
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一. 填空题（25分）： 9
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 ij `w} V
~8F k(E_
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . :A_@,Q
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3. 设随机变量X取值的概率为
'W^Y
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8U"v6S~A%Q
且 n 为正整数。则数学期望 方差 z6\UGSL
@+2=g WH
4. 设随机变量X的密度函数为 rl;~pO5R9
K&]G3W%V
则X的中位数是 . ',@3 >T**
M#6W(|V/
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科目名称：概率论基础 第1页 共4页 20 h, ^
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 %JBz5G
> uB# &Q
二. 选择题（25分）: =z69 e%.
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1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . u'DRN,h+
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . - % h.t+=U
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2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 I" <\<^B<
(a) E6ElNgL
(b) 在定义域内单调不减; t\,PB{P:J
(c) `(V3:F("@
(d) sI GMA$EK
Jhhb7uU+
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 E,U+o $
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(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 ,/F~ Y&1I
]Ie 0S~
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 [D4SW#
(a) ; WlC:l
(b) ; [!#L6&:a8
(c) ; m@v \(rT.
(d) )U:m:cr<
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科目名称：概率论基础 第2页 共4页 |FZ/[9*
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 %RRNJf}z
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则协方差 @K !T,U
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. CkQ3#
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i< Z c"v;
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 `b7t4d*
(1) 一个学生回答“是”的概率； Eo]xNn/g
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ hhc,uJ">!
V {ddr:]4
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 ]Q)OL
RMu~l@
lzVq1@B
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(1) 求常数A; #c.K/&Gc7j
(2) 求X和Y的边缘密度函数; g (CI;f}y
(3) 问X与Y相互独立吗？ 9EibIOD^/
` 7V]y -
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 [ 5Mr@f4
I
, .
d|Lj ~x|
试求解下列问题： Z o(rTCZX
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(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； M@v.c; Lt
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ d S V8q
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 T'D v.h
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 5vnrA'BhBU
N6i Q8P -
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ ,/|T-Ka
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ bq0zxg%
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( 其中 表示标准正态分布函数) J)p
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Jij*x> K>y
七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 _u QOHwn
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
