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中国科学技术大学 VU3upy<
2016年秋季博士资格考试试卷 JK5gQ3C[
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代数学 m;QMQeGz
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1.1.(40分) 考虑形式幂级数环 C[[x]]={a0+a1x+a2x2+⋯∣ai∈C}C[[x]]={a0+a1x+a2x2+⋯∣ai∈C} 考虑 22 阶全矩阵环 R=M2(C[[x]])R=M2(C[[x]]). Qp3_f8
(1) 证明 C[[x]]C[[x]] 为 Noether 整环; <0!):zraS
(2) 描述 C[[x]]C[[x]] 全部的有限生成不可分解模,并给出论证; }K|oicpUg
(3) 给出环 RR 全部的双边理想,并给出论证; NC(~l
(4) 描述 RR 上全部的有限生成不可分解左模,以及这些模的自同态环. )+DmOsH
_-g&PXH
2.2.(40分) 将 Abel 群与 ZZ-模等同起来,考虑 Abel 群 G=Z3⊕ZG=Z3⊕Z. UP,c |
(1) 列出群 GG 的全部子群,并给出论证; }o`76rDN
(2) 将 GG 的每个商群都分解成不可分解群的直和,并给出论证; _q-*7hCQ`
(3) 列出群 GG 的全部直和项,并给出论证; SO!8Di
(4) 描述 GG 的自同构群. SwMc
pNo
回顾:Abel 群 GG 的子群 AA 称为直和项,若存在另一子群 BB 满足 G=A+BG=A+B 以及 A∩B={0}A∩B={0}. q(84+{>B
"4{r6[dn
3.3.(20分) 具体给出代数同构 aPL+=5 8r
CS3−→~C×C×M2(C), Q*Pq{]0K
CS3→~C×C×M2(C), cbTm'}R(G
其中 CS3CS3 为 S3S3 的群代数;并给出相应的论证. /
j.9$H'y
提示:利用不可约复表示. +6+i!Sip